Cálculo Ejemplos

$h (x) = {(x^{2} + 5)}^{2} (x - 5)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ y $g (x) = x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Paso 2.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Paso 2.4.2

Multiplica ${(x^{2} + 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + 0)$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x)$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 4 (x - 5) (x^{2} + 5) x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 5) (x^{2} + 5) x$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Paso 5.3

Factoriza $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Paso 5.3.2

Factoriza $x^{2} + 5$ de $(4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$

Paso 5.3.3

Factoriza $x^{2} + 5$ de $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + (4 x - 20) x)$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x \cdot x - 20 x)$

Paso 5.4.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.2.1

Mueve $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 (x \cdot x) - 20 x)$

Paso 5.4.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x^{2} - 20 x)$

Paso 5.5

Suma $x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$

Paso 5.6

Expande $(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{2} x + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.5.1

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x \cdot x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.7.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x^{1} x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{1 + 2} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 + 5 (- 20 x)$

Paso 5.7.8

Multiplica $- 20$ por $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 - 100 x$

Paso 5.8

Suma $5 x^{2}$ y $25 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} + 30 x^{2} + 25 - 100 x$