Cálculo Ejemplos

$P (x) = (\frac{4 x - 8}{8 x - 4})$

Paso 1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $4 x - 8$ y $8 x - 4$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4})]$

Paso 1.1.2

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4})]$

Paso 1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4})]$

Paso 1.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4})]$

Paso 1.1.4.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)})]$

Paso 1.1.4.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Paso 1.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Paso 1.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [(\frac{x - 2}{2 x - 1})]$

Paso 1.2

Elimina los paréntesis.

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Paso 1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4}]$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4}]$

Paso 1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4}]$

Paso 1.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4}]$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)}]$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Paso 1.2.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Paso 1.2.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{2 x - 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2 x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 (x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2$ .

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Paso 4.2.1.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 1 + 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$