Cálculo Ejemplos

$p (t) = 400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$ .

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))]$ .

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Paso 2.1

Como $400$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $400 (t + \ln (24 + t^{2}))$ con respecto a $t$ es $400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})]$ .

$400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + \ln (24 + t^{2})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]$ .

$400 (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$400 (1 + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = 24 + t^{2}$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$400 (1 + \frac{1}{u} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $24 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.6

Como $24$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $24$ con respecto a $t$ es $0$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + 2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.8

Suma $0$ y $2 t$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.9

Combina $2$ y $\frac{1}{24 + t^{2}}$ .

$400 (1 + \frac{2}{24 + t^{2}} t) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.10

Combina $\frac{2}{24 + t^{2}}$ y $t$ .

$400 (1 + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.11

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$400 (\frac{24 + t^{2}}{24 + t^{2}} + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$400 \frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 2.13

Combina $400$ y $\frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}}$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $60000$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $60000$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Paso 3.2

Como $- 400 \ln (24)$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 400 \ln (24)$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{400 \cdot 24 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $400$ por $24$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $400$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Paso 4.2.3

Suma $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ y $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0$

Paso 4.2.4

Suma $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ y $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{400 t^{2} + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Paso 4.4

Factoriza $400$ de $400 t^{2} + 800 t + 9600$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $400$ de $400 t^{2}$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Paso 4.4.2

Factoriza $400$ de $800 t$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 400 (2 t) + 9600}{t^{2} + 24}$

Paso 4.4.3

Factoriza $400$ de $9600$ .

$\frac{400 t^{2} + 400 (2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Paso 4.4.4

Factoriza $400$ de $400 t^{2} + 400 (2 t)$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Paso 4.4.5

Factoriza $400$ de $400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t + 24)}{t^{2} + 24}$