Cálculo Ejemplos

$P (k) = \frac{160}{1 + 0.05 e^{2 (- k)}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d}{d k} [\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Paso 1.2

Como $160$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ con respecto a $k$ es $160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$ .

$160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Paso 1.3

Reescribe $\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ como ${(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}$ .

$160 \frac{d}{d k} [{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ es $f' (g (k)) g' (k)$ donde $f (k) = k^{- 1}$ y $g (k) = 1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$160 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (- {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $160$ .

$- 160 ({(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ con respecto a $k$ es $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $1$ con respecto a $k$ es $0$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$

Paso 3.5

Como $0.05$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $0.05 e^{- 2 k}$ con respecto a $k$ es $0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}])$

Paso 3.6

Multiplica $0.05$ por $- 160$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ es $f' (g (k)) g' (k)$ donde $f (k) = e^{k}$ y $g (k) = - 2 k$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $- 2 k$ con respecto a $k$ es $- 2 \frac{d}{d k} [k]$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (- 2 \frac{d}{d k} [k]))$

Paso 5.2

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (\frac{d}{d k} [k]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \cdot 1)$

Paso 5.4

Multiplica $e^{- 2 k}$ por $1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} e^{- 2 k}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Combina $16$ y $\frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ y $e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 1)}^{2}}$

Paso 6.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Factoriza $0.05$ de $0.05 e^{- 2 k} + 1$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $0.05$ de $0.05 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k}) + 1)}^{2}}$

Paso 6.4.1.2

Factoriza $0.05$ de $1$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20)}^{2}}$

Paso 6.4.1.3

Factoriza $0.05$ de $0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k} + 20))}^{2}}$

Paso 6.4.2

Aplica la regla del producto a $0.05 (e^{- 2 k} + 20)$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{0.05}^{2} {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Paso 6.4.3

Eleva $0.05$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Paso 6.5

Factoriza $16$ de $16 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Paso 6.6

Factoriza $0.0025$ de $0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 ({(e^{- 2 k} + 20)}^{2})}$

Paso 6.7

Separa las fracciones.

$\frac{16}{0.0025} \cdot \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Paso 6.8

Divide $16$ por $0.0025$ .

$6400 \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Paso 6.9

Combina $6400$ y $\frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$ .

$\frac{6400 e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$