Cálculo Ejemplos

$m (x) = 12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$ .

$\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 5$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 5$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $3$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.11

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.12

Combina $2$ y $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 (\frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.13

Multiplica $3$ por $2$ .

$12 (\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.14

Combina $\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$12 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.15

Factoriza $2$ de $6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.16

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.16.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.16.2

Cancela el factor común.

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.16.3

Reescribe la expresión.

$12 \frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.16.4

Divide $3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

$12 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 2.17

Multiplica $3$ por $12$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [- 93]$

Paso 3

Como $- 93$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 93$ con respecto a $x$ es $0$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Suma $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ y $0$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$

Paso 4.2

Reordena los factores de $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$36 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$