Cálculo Ejemplos

$m (t) = - 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Paso 1

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ con respecto a $t$ es $- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

$- 5 (t \frac{d}{d t} [{(6 t^{5} - 1)}^{3}] + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = 6 t^{5} - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 t^{5} - 1$ .

$- 5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 t^{5} - 1$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 t^{5} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.2

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 t^{5}$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.4

Multiplica $5$ por $6$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + 0)) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $30 t^{4}$ y $0$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4})) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.6.2

Multiplica $30$ por $3$ .

$- 5 (t (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2} t^{4}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- 5 (t^{4} t^{1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 5 (t^{4 + 1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 7

Suma $4$ y $1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Paso 9

Multiplica ${(6 t^{5} - 1)}^{3}$ por $1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Paso 10.2

Multiplica $90$ por $- 5$ .

$- 450 (t^{5} ({(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Paso 10.3

Factoriza $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ de $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2} - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ de $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Paso 10.3.2

Factoriza $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ de $- 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.3.3

Factoriza $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ de $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.4

Reescribe ${(6 t^{5} - 1)}^{2}$ como $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ .

$5 ((6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.5

Expande $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5} - 1) - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 (6 \cdot 6 t^{5} t^{5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.1.2

Multiplica $t^{5}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.6.1.2.1

Mueve $t^{5}$ .

$5 (6 \cdot 6 (t^{5} t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (6 \cdot 6 t^{5 + 5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.1.2.3

Suma $5$ y $5$ .

$5 (6 \cdot 6 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$5 (36 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.6.2

Resta $6 t^{5}$ de $- 6 t^{5}$ .

$5 (36 t^{10} - 12 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.7

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 (36 t^{10}) + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.8

Simplifica.

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Paso 10.8.1

Multiplica $36$ por $5$ .

$(180 t^{10} + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.8.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.8.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Paso 10.9

Simplifica cada término.

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Paso 10.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5}) - - 1)$

Paso 10.9.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} - - 1)$

Paso 10.9.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} + 1)$

Paso 10.10

Resta $6 t^{5}$ de $- 90 t^{5}$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$

Paso 10.11

Expande $(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$180 t^{10} (- 96 t^{5}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12

Simplifica cada término.

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Paso 10.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$180 \cdot - 96 t^{10} t^{5} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.2

Multiplica $t^{10}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.12.2.1

Mueve $t^{5}$ .

$180 \cdot - 96 (t^{5} t^{10}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$180 \cdot - 96 t^{5 + 10} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.2.3

Suma $5$ y $10$ .

$180 \cdot - 96 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.3

Multiplica $180$ por $- 96$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.4

Multiplica $180$ por $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5} t^{5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.6

Multiplica $t^{5}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.12.6.1

Mueve $t^{5}$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 (t^{5} t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5 + 5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.6.3

Suma $5$ y $5$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.7

Multiplica $- 60$ por $- 96$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.8

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.9

Multiplica $- 96$ por $5$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5 \cdot 1$

Paso 10.12.10

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

Paso 10.13

Suma $180 t^{10}$ y $5760 t^{10}$ .

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

Paso 10.14

Resta $480 t^{5}$ de $- 60 t^{5}$ .

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 540 t^{5} + 5$