Cálculo Ejemplos

$p (x) = 2000 x - 300 x \ln (1000 x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2000 x - 300 x \ln (1000 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2000 x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2000 x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2000 x]$ .

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Paso 2.1

Como $2000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2000 x$ con respecto a $x$ es $2000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2000 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Paso 2.3

Multiplica $2000$ por $1$ .

$2000 + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 300$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 300 x \ln (1000 x)$ con respecto a $x$ es $- 300 \frac{d}{d x} [x \ln (1000 x)]$ .

$2000 - 300 \frac{d}{d x} [x \ln (1000 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (1000 x)$ .

$2000 - 300 (x \frac{d}{d x} [\ln (1000 x)] + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1000 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1000 x$ .

$2000 - 300 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1000 x$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Como $1000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1000 x$ con respecto a $x$ es $1000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \cdot 1)) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \cdot 1)) + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $1000$ por $1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} \cdot 1000) + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{1000 x}$ y $1000$ .

$2000 - 300 (x \frac{1000}{1000 x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $1000$ .

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Paso 3.9.1

Cancela el factor común.

$2000 - 300 (x \frac{1000}{1000 x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.9.2

Reescribe la expresión.

$2000 - 300 (x \frac{1}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.10

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$2000 - 300 (\frac{x}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.11

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.11.1

Cancela el factor común.

$2000 - 300 (\frac{x}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.11.2

Reescribe la expresión.

$2000 - 300 (1 + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Paso 3.12

Multiplica $\ln (1000 x)$ por $1$ .

$2000 - 300 (1 + \ln (1000 x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2000 - 300 \cdot 1 - 300 \ln (1000 x)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 300$ por $1$ .

$2000 - 300 - 300 \ln (1000 x)$

Paso 4.2.2

Resta $300$ de $2000$ .

$1700 - 300 \ln (1000 x)$