Cálculo Ejemplos

$q (x) = \sin (x) \sec (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \sec (2 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sin (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\sin (x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \cdot (\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) \cos (x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los términos.

$2 \sec (2 x) \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Reescribe $\sec (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{2}{\cos (2 x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.4

Reescribe $\tan (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.5

Multiplica $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)}$ por $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.5.2

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.5.3

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Paso 5.2.6

Reescribe $\sec (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 5.2.7

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Factoriza $\cos (2 x)$ de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.2

Separa las fracciones.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.3

Reescribe $\frac{\sin (x)}{\cos (2 x)}$ como un producto.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.4

Escribe $\sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.5

Simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.5.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.6

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.7

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.8

Divide $2$ por $1$ .

$2 \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$ como un producto.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.10

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.11

Simplifica.

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Paso 5.3.11.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 5.3.11.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$