Cálculo Ejemplos

$q (x) = 8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{5 \sin (x)}{3}}$ como ${(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{5 \sin (x)}{3}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{5 \sin (x)}{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.4

Como $\frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 \sin (x)}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.11

Combina $\frac{5}{3}$ y $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{5 \cos (x)}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.12

Multiplica $\frac{5 \cos (x)}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{3 \cdot 2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.13

Multiplica $3$ por $2$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.14

Combina $\frac{5 \cos (x)}{6}$ y $8$ .

$\frac{5 \cos (x) \cdot 8}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.15

Multiplica $8$ por $5$ .

$\frac{40 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.16

Cancela el factor común de $40$ y $6$ .

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Paso 2.16.1

Factoriza $2$ de $40 \cos (x)$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.16.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 (3)} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 \cdot 3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 2.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5 \cos (x)}$ como ${(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $5 \cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 (\cos (x)))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $5 (\cos (x))$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Paso 3.4

Como $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.6

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \sin (x)))$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{- 2}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.12

Combina $\frac{1}{3}$ y ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \sin (x)))$

Paso 3.13

Combina $\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} \sin (x)}{3})$

Paso 3.14

Mueve ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.16

Multiplica $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ por $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \cdot \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.17

Multiplica $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ por $\frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{7 (3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 3.18

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{3}{5 \sin (x)})}^{\frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5 \sin (x)}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(5 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.2

Aplica la regla del producto a $5 \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{20 \cos (x)}{3}$ por $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 \cos (x) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3 (5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.2

Mueve $3^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.3

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.1

Mueve $3^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $3^{- \frac{1}{2}}$ por $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$