Cálculo Ejemplos

$q (t) = \frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t^{2} - 5 t - 3$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $t^{2} - 5 t - 3$ por $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 5 t - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5 t$ con respecto a $t$ es $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.8

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + 0)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.9

Combina fracciones.

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Paso 3.9.1

Suma $2 t - 5$ y $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 3.9.2

Combina $5$ y $\frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t) - t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 t^{2} + 5 (- 5 t) + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.3.1

Mueve $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- (t \cdot t) \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.1.3.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t^{2} \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- 2 t^{2}) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (5 t)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.1.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Combina los términos opuestos en $5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t$ .

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Paso 4.3.2.1

Suma $- 25 t$ y $25 t$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2} + 0}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Suma $5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}$ y $0$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Resta $10 t^{2}$ de $5 t^{2}$ .

$\frac{- 5 t^{2} - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza $5$ de $- 5 t^{2} - 15$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $5$ de $- 5 t^{2}$ .

$\frac{5 (- t^{2}) - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $5$ de $- 15$ .

$\frac{5 (- t^{2}) + 5 (- 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Factoriza $5$ de $5 (- t^{2}) + 5 (- 3)$ .

$\frac{5 (- t^{2} - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- t^{2}$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 1 (3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.7

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2}) - 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.8

Reescribe $- (t^{2} + 3)$ como $- 1 (t^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Paso 4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 (t^{2} + 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$