Cálculo Ejemplos

$R (x) = (40000 + \frac{10000}{4} x) (24 - x) + (40000 + \frac{10000}{4} x) (4)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 1.1

Divide $10000$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x) + (40000 + \frac{10000}{4} x) (4)]$

Paso 1.2

Divide $10000$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x) + (40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $(40000 + 2500 x) (24 - x) + (40000 + 2500 x) \cdot 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 40000 + 2500 x$ y $g (x) = 24 - x$ .

$(40000 + 2500 x) \frac{d}{d x} [24 - x] + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $24 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + 2500 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.3

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(40000 + 2500 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $40000 + 2500 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x]$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.7

Como $40000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (0 + \frac{d}{d x} [2500 x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.8

Como $2500$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2500 x$ con respecto a $x$ es $2500 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (0 + 2500 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.11

Resta $1$ de $0$ .

$(40000 + 2500 x) \cdot - 1 + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.12

Mueve $- 1$ a la izquierda de $40000 + 2500 x$ .

$- 1 \cdot (40000 + 2500 x) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.13

Reescribe $- 1 (40000 + 2500 x)$ como $- (40000 + 2500 x)$ .

$- (40000 + 2500 x) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.14

Multiplica $2500$ por $1$ .

$- (40000 + 2500 x) + (24 - x) (0 + 2500) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.15

Suma $0$ y $2500$ .

$- (40000 + 2500 x) + (24 - x) \cdot 2500 + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 2.16

Mueve $2500$ a la izquierda de $24 - x$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$ .

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Paso 3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $40000 + 2500 x$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + \frac{d}{d x} [4 \cdot (40000 + 2500 x)]$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (40000 + 2500 x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x]$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $40000 + 2500 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x]$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x])$

Paso 3.4

Como $40000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + \frac{d}{d x} [2500 x])$

Paso 3.5

Como $2500$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2500 x$ con respecto a $x$ es $2500 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + 2500 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + 2500 \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $2500$ por $1$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + 2500)$

Paso 3.8

Suma $0$ y $2500$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 \cdot 2500$

Paso 3.9

Multiplica $4$ por $2500$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 10000$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - (2500 x) + 2500 (24 - x) + 10000$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - (2500 x) + 2500 \cdot 24 + 2500 (- x) + 10000$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $40000$ .

$- 40000 - (2500 x) + 2500 \cdot 24 + 2500 (- x) + 10000$

Paso 4.3.2

Multiplica $2500$ por $- 1$ .

$- 40000 - 2500 x + 2500 \cdot 24 + 2500 (- x) + 10000$

Paso 4.3.3

Multiplica $2500$ por $24$ .

$- 40000 - 2500 x + 60000 + 2500 (- x) + 10000$

Paso 4.3.4

Multiplica $- 1$ por $2500$ .

$- 40000 - 2500 x + 60000 - 2500 x + 10000$

Paso 4.3.5

Suma $- 40000$ y $60000$ .

$- 2500 x + 20000 - 2500 x + 10000$

Paso 4.3.6

Resta $2500 x$ de $- 2500 x$ .

$- 5000 x + 20000 + 10000$

Paso 4.3.7

Suma $20000$ y $10000$ .

$- 5000 x + 30000$