Cálculo Ejemplos

$r (t) = - 6 t {(5 x^{4} - 1)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{d}{d t} [- 6 t ({(5 x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (5^{4} {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{4}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{4 \cdot 4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.4

Aplica la regla del producto a $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (5^{3} {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.5

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{3}$ .

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Paso 2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{4 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.6.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{12}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.7

Multiplica $125$ por $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 500 x^{12} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $500$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.9

Aplica la regla del producto a $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (5^{2} {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.10

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.11

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 2.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{4 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.11.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{8}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.12

Multiplica $25$ por $6$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} \cdot 1 + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.14

Multiplica $150$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.15

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.17

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + {(- 1)}^{4})]$

Paso 2.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)]$

Paso 3

Como $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ con respecto a $t$ es $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \cdot 1$

Paso 5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 (625 x^{16}) - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Multiplica $625$ por $- 6$ .

$- 3750 x^{16} - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 500$ por $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Paso 6.2.3

Multiplica $150$ por $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Paso 6.2.4

Multiplica $- 20$ por $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6 \cdot 1$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6$