Cálculo Ejemplos

$r (t) = 2 t - \sin (2 t) i + \cos (2 t) j - k$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - \sin (2 t) i + \cos (2 t) j - k$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- \sin (2 t) i] + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- \sin (2 t) i] + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sin (2 t) i] + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sin (2 t) i] + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [- \sin (2 t) i] + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \sin (2 t) i]$ .

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Paso 3.1

Como $- i$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \sin (2 t) i$ con respecto a $t$ es $- i \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$2 - i \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 t$ .

$2 - i (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$2 - i (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$2 - i (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 - i (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 - i (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - i (\cos (2 t) \cdot 2) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 t)$ .

$2 - i (2 \cdot \cos (2 t)) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + \frac{d}{d t} [\cos (2 t) j] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d t} [\cos (2 t) j]$ .

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Paso 4.1

Como $j$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\cos (2 t) j$ con respecto a $t$ es $j \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j \frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 t$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- \sin (2 t) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- \sin (2 t) \cdot 2) + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- 2 \sin (2 t)) + \frac{d}{d t} [- k]$

Paso 5

Como $- k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- k$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- 2 \sin (2 t)) + 0$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Suma $2 - 2 i \cos (2 t) + j (- 2 \sin (2 t))$ y $0$ .

$2 - 2 i \cos (2 t) + j (- 2 \sin (2 t))$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$- 2 i \cos (2 t) - 2 j \sin (2 t) + 2$