Cálculo Ejemplos

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $i$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $t^{2} i$ con respecto a $t$ es $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $j$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $(1 - t) j$ con respecto a $t$ es $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.7

Resta $1$ de $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 3.9

Reescribe $- 1 j$ como $- j$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

Paso 4.2

Combina $\frac{2 t^{3}}{3}$ y $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

Paso 4.3

Como $\frac{2 k}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{2 t^{3} k}{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

Paso 4.5

Combina $3$ y $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

Paso 4.7

Combina $\frac{6 k}{3}$ y $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

Paso 4.8

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1

Factoriza $3$ de $6 k t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

Paso 4.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

Paso 4.8.2.2

Cancela el factor común.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

Paso 4.8.2.4

Divide $2 k t^{2}$ por $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

Paso 5

Reordena los términos.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$