Cálculo Ejemplos

$r (t) = \frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i]$ .

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{t}$ y $i$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{i}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 2.2

Como $i$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{i}{t}$ con respecto a $t$ es $i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\ln (t) j]$ .

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Paso 3.1

Como $j$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\ln (t) j$ con respecto a $t$ es $j \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{1}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 3.3

Combina $j$ y $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

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Paso 4.1

Como $k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $e^{2 t} k$ con respecto a $t$ es $k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{u} \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 4.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \cdot 2)$

Paso 4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (2 \cdot e^{2 t})$

Paso 4.7

Mueve $2$ a la izquierda de $k$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$i (- \frac{1}{t^{2}}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Paso 5.2

Combina $i$ y $\frac{1}{t^{2}}$ .

$- \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

Paso 5.4

Reordena los factores en $2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$ .

$2 k e^{2 t} - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$