Cálculo Ejemplos

$r (t) = \frac{{(5 t - 6)}^{4}}{3 t^{2} + 4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = {(5 t - 6)}^{4}$ y $g (t) = 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [{(5 t - 6)}^{4}] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{4}$ y $g (t) = 5 t - 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $3 t^{2} + 4$ .

$\frac{4 \cdot (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 t - 6$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + 0) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \cdot 5 - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} + 4$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.11

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.12

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.13

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.1

Suma $6 t$ y $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.13.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(20 (3 t^{2}) + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza ${(5 t - 6)}^{3}$ de $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Factoriza ${(5 t - 6)}^{3}$ de $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Factoriza ${(5 t - 6)}^{3}$ de $- 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3

Factoriza ${(5 t - 6)}^{3}$ de ${(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $2$ de $20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $20 \cdot 3 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $2$ de $20 \cdot 4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.2.3

Factoriza $2$ de $- 6 (5 t - 6) t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.2.4

Factoriza $2$ de $2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.2.5

Factoriza $2$ de $2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Multiplica $10$ por $3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Multiplica $10$ por $4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 3 (5 t) - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.6

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.7

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t + 18) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t \cdot t + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.9

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.9.1

Mueve $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 (t \cdot t) + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.9.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t^{2} + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.10

Resta $15 t^{2}$ de $30 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (15 t^{2} + 40 + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.11

Reordena los términos.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} \cdot 2 (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{2 {(5 t - 6)}^{3} (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$