Cálculo Ejemplos

$G (y) = {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = \frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = 2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2}] - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) (2 y) - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (2 y - 1) y - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + 0)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1

Suma $2$ y $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} \cdot 2}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Combina $\frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ y $3$ .

$\frac{(2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}) \cdot 3}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

Paso 3.8.4

Mueve $3$ a la izquierda de $2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$\frac{3 (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 ((2 (2 y) + 2 \cdot - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 (2 y) y + 2 \cdot - 1 y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 (2 y) y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Combina los términos.

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Paso 4.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 (4 y \cdot y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y)) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y^{1})) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (4 y^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 (4 y^{2}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (- 2 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.8

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.9

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y - 6 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.10

Resta $6 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.11

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.5.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{2 \cdot 2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.12

Multiplica $\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}}$ por $\frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2} {(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.13

Multiplica ${(2 y - 1)}^{2}$ por ${(2 y - 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2 + 2}}$

Paso 4.5.13.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Paso 4.6

Reordena los términos.

$\frac{y^{4} (6 y^{2} - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Factoriza $6 y$ de $6 y^{2} - 6 y$ .

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Paso 4.7.1.1

Factoriza $6 y$ de $6 y^{2}$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y) - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Paso 4.7.1.2

Factoriza $6 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y) + 6 y (- 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Paso 4.7.1.3

Factoriza $6 y$ de $6 y (y) + 6 y (- 1)$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y - 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

$\frac{y^{4} \cdot 6 y (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Paso 4.7.2

Combina exponentes.

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Paso 4.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (y^{4} y^{1}) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Paso 4.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 y^{4 + 1} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Paso 4.7.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{6 y^{5} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$