Cálculo Ejemplos

$g (x) = \ln (| 7 x - 4 |)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | 7 x - 4 |$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| 7 x - 4 |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| 7 x - 4 |$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 7 x - 4$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x - 4$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Paso 2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x - 4$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Paso 3

Multiplica $\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 |}$ por $\frac{1}{| 7 x - 4 |}$ .

$\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 | | 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Paso 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{7 x - 4}{| (7 x - 4) (7 x - 4) |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Paso 5

Eleva $7 x - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1} (7 x - 4) |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Paso 6

Eleva $7 x - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1} {(7 x - 4)}^{1} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 10

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 12

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 13

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 + 0)$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} \cdot 7$

Paso 14.2

Combina $\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$ y $7$ .

$\frac{(7 x - 4) \cdot 7}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Paso 14.3

Mueve $7$ a la izquierda de $7 x - 4$ .

$\frac{7 \cdot (7 x - 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (7 x) + 7 \cdot - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Paso 15.2

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{49 x + 7 \cdot - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Paso 15.2.2

Multiplica $7$ por $- 4$ .

$\frac{49 x - 28}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Paso 15.3

Factoriza $7$ de $49 x - 28$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $7$ de $49 x$ .

$\frac{7 (7 x) - 28}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Paso 15.3.2

Factoriza $7$ de $- 28$ .

$\frac{7 (7 x) + 7 (- 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Paso 15.3.3

Factoriza $7$ de $7 (7 x) + 7 (- 4)$ .

$\frac{7 (7 x - 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$