Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{5 - x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 - x$ .

$\frac{(5 - x) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 3$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 3$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 8.3

Mueve ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 11

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 12.2

Multiplica $5 - x$ por $1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 13

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 14

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 15

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 16

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 17

Multiplica.

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Paso 17.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 1 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 17.2

Multiplica ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 19

Multiplica ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Simplifica el numerador.

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Paso 20.1.1

Sea $u_{2} = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 20.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{5 - x + 2 u_{2} \cdot u_{2}}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.1.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 20.1.1.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 (u_{2} \cdot u_{2})}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.1.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3

Simplifica.

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Paso 20.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.1.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 20.1.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.1.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{1}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3.1.2

Simplifica.

$\frac{\frac{5 - x + 2 (x - 3)}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{5 - x + 2 x + 2 \cdot - 3}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 x - 6}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3.2

Resta $6$ de $5$ .

$\frac{\frac{- x + 2 x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.1.3.3

Suma $- x$ y $2 x$ .

$\frac{\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.2

Combina los términos.

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Paso 20.2.1

Reescribe $\frac{\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$ como un producto.

$\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 20.2.2

Multiplica $\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{2}}$