Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{3^{x}}{7 x + 6}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3^{x}$ y $g (x) = 7 x + 6$ .

$\frac{(7 x + 6) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [7 x + 6]}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$\frac{(7 x + 6) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [7 x + 6]}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 + 0)}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} \cdot 7}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(7 x \cdot 3^{x} + 6 \cdot 3^{x}) \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x \cdot 3^{x} \ln (3) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Simplifica $7 \ln (3)$ al mover $7$ dentro del algoritmo.

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (3^{7}) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Simplifica $6 \ln (3)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 3^{x} \ln (3^{6}) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 4.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 3^{x} \ln (729) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{3^{x} x \ln (2187) + 3^{x} \ln (729) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$