Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{\ln (x - 1)}{x - 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x - 1)$ y $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x - 2$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \ln (x - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Combina $- \ln (x - 1)$ y $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{- \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x - \ln (x - 1) \cdot - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $- \ln (x - 1) \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + 1 \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.5.2.2

Multiplica $\ln (x - 1)$ por $1$ .

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.6

Reordena los factores en $\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$ como un producto.

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}$ por $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{- x \ln (x - 1) + x - 2 + \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)}$