Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x} - 1$ y $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1] - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} + (- e^{2 x} - - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1.1.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.1.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x}) - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{x + 2 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.3.3

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.2

Resta $e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$