Cálculo Ejemplos

$g (x) = {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 6.3

Mueve ${\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 7.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 8

Diferencia.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\sin (5 x)$ .

$- \frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 8.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.3

Combina fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 \frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3.2

Combina $- 5$ y $\frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 8.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}}$