Cálculo Ejemplos

$g (x) = (7 x^{2} + 9) (8 x + \sqrt{x})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{2} + 9) (8 x + x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 7 x^{2} + 9$ y $g (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}] + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 3.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 3.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 10

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 12

Multiplica $2$ por $7$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 13

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + 0)$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Suma $14 x$ y $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x)$

Paso 14.2

Mueve $14$ a la izquierda de $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (14 (8 x) + 14 x^{\frac{1}{2}}) x$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 (8 x) x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 15.3

Combina los términos.

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Paso 15.3.1

Multiplica $8$ por $14$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x \cdot x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 15.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 15.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x^{1}) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 15.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{1 + 1} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 15.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 15.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 15.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Paso 15.3.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 15.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Paso 15.3.10

Suma $2$ y $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.4

Reordena los términos.

$112 x^{2} + (7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5

Simplifica cada término.

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Paso 15.5.1

Expande $(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 15.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$112 x^{2} + 7 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 15.5.2.1

Multiplica $8$ por $7$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.2

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 15.5.2.2.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $7 x^{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.2.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.2.3

Cancela el factor común.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.3

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.4

Combina $x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{7}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.5

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.6

Multiplica $9$ por $8$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.5.2.7

Combina $9$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.6

Suma $112 x^{2}$ y $56 x^{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 15.7

Para escribir $14 x^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.8

Combina $14 x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.10

Simplifica el numerador.

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Paso 15.10.1

Factoriza $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

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Paso 15.10.1.1

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.10.1.2

Factoriza $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.10.1.3

Factoriza $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.10.1.4

Factoriza $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.10.3

Suma $1$ y $4$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.10.4

Multiplica $5$ por $7$ .

$168 x^{2} + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$