Cálculo Ejemplos

$g (u) = \frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $\frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ con respecto a $u$ es $3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ es $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ donde $f (u) = u^{2}$ y $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ es $f' (g (u)) g' (u)$ donde $f (u) = u^{3}$ y $g (u) = u^{2} + u$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{2} + u$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 5.5

Combina $3$ y $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ .

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Factoriza $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ de $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ .

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Paso 6.2.1.1

Factoriza $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ de $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.1.2

Factoriza $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ de $3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.1.3

Factoriza $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ de $3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.2

Factoriza $u$ de $u^{2} + u$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u^{1})}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.2.3

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.2.4

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{3 {(u (u + 1))}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.3

Aplica la regla del producto a $u (u + 1)$ .

$\frac{3 u^{2} {(u + 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.4

Combina exponentes.

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Paso 6.2.4.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{2}) {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 u^{1 + 2} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2 \cdot 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u \cdot u + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.4

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.5.4.1

Mueve $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u \cdot u) + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.4.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u) - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.8

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.5.8.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.5.8.1.1

Mueve $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 (u \cdot u) - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.8.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.5.8.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 6 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.6

Resta $6 u^{2}$ de $2 u^{2}$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} + 2 u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.7

Resta $3 u$ de $2 u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.8

Factoriza $u$ de $- 4 u^{2} - u$ .

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Paso 6.2.8.1

Factoriza $u$ de $- 4 u^{2}$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.8.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) + u \cdot - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.8.3

Factoriza $u$ de $u (- 4 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} u (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.9

Combina exponentes.

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Paso 6.2.9.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{3}) {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 u^{1 + 3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.2.9.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Factoriza $u$ de $u^{2} + u$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

Paso 6.3.1.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

Paso 6.3.1.3

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

Paso 6.3.1.4

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

Paso 6.3.2

Aplica la regla del producto a $u (u + 1)$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $u^{4}$ y $u^{6}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $u^{4}$ de $3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Paso 6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1

Factoriza $u^{4}$ de $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Paso 6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de ${(u + 1)}^{2}$ y ${(u + 1)}^{6}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza ${(u + 1)}^{2}$ de $3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Factoriza ${(u + 1)}^{2}$ de $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Paso 6.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 u$ .

$\frac{3 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Paso 6.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- (4 u) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Paso 6.9

Reescribe $- (4 u + 1)$ como $- 1 (4 u + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Paso 6.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$