Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{t - t^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 1 + t + t^{2}$ y $g (t) = t - t^{3}$ .

$\frac{(t - t^{3}) \frac{d}{d t} [1 + t + t^{2}] - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t - t^{3}) (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $t - t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{3}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - (3 t^{2}))}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Expande $(t - t^{3}) (1 + 2 t)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t (1 + 2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{t + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t + 2 t \cdot t - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.2.3.1

Mueve $t$ .

$\frac{t + 2 (t \cdot t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.3.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{3} t + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $t^{3}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.2.6.1

Mueve $t$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.6.2

Multiplica $t$ por $t^{3}$ .

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Paso 3.2.1.2.6.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{1 + 3} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.6.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Expande $(- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 \cdot 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t \cdot t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.5

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.5.5.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.5.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 3.2.1.5.5.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{2 + 1} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2} t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.9

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.5.9.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2 + 2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.9.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.10

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.1.6

Resta $t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $t$ de $t$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 0 + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Suma $2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $2 t^{2}$ y $2 t^{2}$ .

$\frac{- t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $- t^{3}$ y $3 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.2.5

Suma $- 2 t^{4}$ y $3 t^{4}$ .

$\frac{2 t^{3} + t^{4} - 1 + 4 t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(- t^{3} + t)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $t$ de $- t^{3} + t$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $t$ de $- t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t^{1})}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t \cdot 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $t$ de $t (- t^{2}) + t \cdot 1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1))}^{2}}$

Paso 3.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1^{2}))}^{2}}$

Paso 3.4.3

Reordena $- t^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1^{2} - t^{2}))}^{2}}$

Paso 3.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t) (1 - t))}^{2}}$

Paso 3.4.5

Aplica la regla del producto a $t (1 + t) (1 - t)$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t))}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t \cdot 1 + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.8

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t^{2})}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.9

Reescribe ${(t + t^{2})}^{2}$ como $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t + t^{2}) (t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.10

Expande $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t (t + t^{2}) + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.11.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.11.1.2.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 3.4.11.1.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1} t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1 + 2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.3

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.11.1.3.1

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 3.4.11.1.3.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t^{1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2 + 1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.4

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.11.1.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2 + 2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.1.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.11.2

Suma $t^{3}$ y $t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.12

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}$ .

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Paso 3.4.12.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.12.2

Factoriza $t^{2}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.12.3

Factoriza $t^{2}$ de $t^{4}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.12.4

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t)$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.12.5

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1 + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.13

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.4.13.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.13.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 t = 2 \cdot 1 \cdot t$

Paso 3.4.13.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Paso 3.4.13.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} {(1 + t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$