Cálculo Ejemplos

$g (t) = {(4 t + 3 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Suma $4 t$ y $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [{(7 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Paso 1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1

Aplica la regla del producto a $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [7^{2} t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Paso 1.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d t} [49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Paso 1.3

Como $49$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ con respecto a $t$ es $49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$ .

$49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ .

$49 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} - 9)}^{- 3}] + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 3}$ y $g (t) = 3 t^{2} - 9$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$49 (t^{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} - 9$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + 0)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $6 t$ y $0$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.6.2

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$49 (t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} t) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 5

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $t$ .

$49 (t \cdot t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 5.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$49 (t^{1} t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$49 (t^{1 + 2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 5.3

Suma $1$ y $2$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} (2 t))$

Paso 7

Mueve $2$ a la izquierda de ${(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + 2 \cdot {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

Paso 8.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4

Combina los términos.

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Paso 8.4.1

Combina $- 18$ y $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$49 (t^{3} \frac{- 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$49 (t^{3} (- \frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.3

Combina $t^{3}$ y $\frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$49 (- \frac{t^{3} \cdot 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.4

Mueve $18$ a la izquierda de $t^{3}$ .

$49 (- \frac{18 \cdot t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.5

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$- 49 \frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.6

Combina $- 49$ y $\frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$\frac{- 49 (18 t^{3})}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.7

Multiplica $18$ por $- 49$ .

$\frac{- 882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.9

Combina $2$ y $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Paso 8.4.10

Combina $\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ y $t$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 \frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.4.11

Combina $49$ y $\frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{49 (2 t)}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.4.12

Multiplica $2$ por $49$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.5.1.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2} - 9$ .

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Paso 8.5.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2} - 3))}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.1.2

Aplica la regla del producto a $3 (t^{2} - 3)$ .

$- \frac{882 t^{3}}{3^{4} {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{882 t^{3}}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.2

Cancela el factor común de $882$ y $81$ .

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Paso 8.5.2.1

Factoriza $9$ de $882 t^{3}$ .

$- \frac{9 (98 t^{3})}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.5.2.2.1

Factoriza $9$ de $81 {(t^{2} - 3)}^{4}$ .

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.5.3.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2} - 9$ .

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Paso 8.5.3.1.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2}$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{3}}$

Paso 8.5.3.1.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{3}}$

Paso 8.5.3.1.3

Factoriza $3$ de $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2} - 3))}^{3}}$

Paso 8.5.3.2

Aplica la regla del producto a $3 (t^{2} - 3)$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{3^{3} {(t^{2} - 3)}^{3}}$

Paso 8.5.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{27 {(t^{2} - 3)}^{3}}$