Cálculo Ejemplos

$g (t) = (\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ y $g (t) = 3 - 2 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (3 t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (u) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 2 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.8

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 t$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \cdot 3) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.12

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + 3 \cdot \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.13

Suma $0$ y $3 \cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (3 \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.14

Mueve $3$ a la izquierda de $3 - 2 t$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.15

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.16

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \cdot - 2}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.17

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 3

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Paso 4.4.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Paso 4.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Paso 4.4.4

Suma $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ y $0$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Paso 4.5

Reordena los términos.

$\frac{- 6 t \cos (3 t) + 2 + 9 \cos (3 t) + 2 \sin (3 t)}{{(- 2 t + 3)}^{2}}$