Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 8 x^{2} - 7 x + 12$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} - 7 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.7

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.9

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 2.10

Suma $16 x - 7$ y $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Paso 3

Como $\ln (8)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\ln (8)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Suma $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ y $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$

Paso 4.2

Reordena los factores de $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ .

$(16 x - 7) \frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$

Paso 4.3

Multiplica $16 x - 7$ por $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$ .

$\frac{16 x - 7}{8 x^{2} - 7 x + 12}$