Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 4.5

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 6.2

La derivada de $\tan (u_{4})$ con respecto a $u_{4}$ es $\sec^{2} (u_{4})$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1)$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Paso 7.4.2

Reordena los factores de $\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$ .

$(- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)) \frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)}$