Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x}))$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x^{\frac{1}{3}}))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ a $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 4.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Paso 9.2

Resta $3$ de $1$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Paso 13

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 14

Combina $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ y $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{\sec (x^{\frac{1}{3}}) \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Reescribe $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2

Combina $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ y $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.3

Convierte de $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ a $\tan (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\tan (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$