Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Paso 4

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \tan (5 x)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\tan (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 5.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 6

Reescribe $\tan (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 8

Convierte de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 9.2

La derivada de $\tan (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 10

Diferencia.

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Paso 10.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Paso 10.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + 5 \cdot (\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ por $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

Paso 11.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + 5 \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

Paso 11.4

Simplifica cada término.

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Paso 11.4.1

Combina $5$ y $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

Paso 11.4.2

Combina $\frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ y $\cot (5 x)$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \sec^{2} (5 x)$

Paso 11.4.3

Combina $\frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ y $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$

Paso 11.5

Para escribir $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 11.6

Multiplica $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

Paso 11.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

Paso 11.8

Reordena los factores en $\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$ .

$\frac{2 + 5 x \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{x (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))}$