Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (e^{3 x}) + x \ln (e^{2}) - 10 \ln (e)$

Paso 1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \ln (e)) - 10 \ln (e)]$

Paso 2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \cdot 1) - 10 \ln (e)]$

Paso 3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \ln (e)]$

Paso 4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1]$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 6

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})]$ .

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Paso 6.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $3 x$ fuera del exponente.

$\frac{d}{d x} [3 x \ln (e)] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x \cdot 1] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 6.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 6.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 7

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Paso 7.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 7.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 7.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Paso 8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

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Paso 8.1

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 8.2

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 2 + 0$

Paso 9

Combina los términos.

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Paso 9.1

Suma $3$ y $2$ .

$5 + 0$

Paso 9.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$