Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{5 x}{25})$

Paso 1

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 (x)}{25})]$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x}{5 \cdot 5})]$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x}{5 \cdot 5})]$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{5})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{5}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{5}$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{1}{\frac{5 (x)}{25}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{1}{\frac{5 x}{5 \cdot 5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{5 x}{5 \cdot 5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{5}$ .

$1 \frac{5}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 4

Multiplica $\frac{5}{x}$ por $1$ .

$\frac{5}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 5

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{x} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$