Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{4 x - 3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4 x - 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$1 \frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (4 x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.8

Combina fracciones.

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Paso 5.8.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 5.8.3

Multiplica $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ por $\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{x^{2} {(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $4 x - 3$ de $x^{2} {(4 x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (4 x) + 2 \cdot - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (4 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.4.2

Resta $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.5

Combina los términos.

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Paso 7.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x \cdot x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1} x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1 + 2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.5.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{3} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.5.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Paso 7.6

Factoriza $2 x$ de $4 x^{2} - 6 x$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Paso 7.6.2

Factoriza $2 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (- 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Paso 7.6.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Paso 7.7

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Paso 7.7.1

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) - 3 x^{2}}$

Paso 7.7.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Paso 7.7.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x - 3)}$

Paso 7.8

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 7.8.1

Factoriza $x$ de $2 x (2 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x^{2} (4 x - 3)}$

Paso 7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.8.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Paso 7.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Paso 7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 x - 3)}{x (4 x - 3)}$