Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\sqrt{\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}}$ como ${(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Paso 9

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x - 1)}^{3}$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $x - 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11

Diferencia.

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Paso 11.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 \cdot (x + 1) {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} (1 + 0) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.5

Simplifica la expresión.

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Paso 11.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.9

Combina fracciones.

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Paso 11.9.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 11.9.3

Multiplica $\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Paso 11.9.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 12.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\frac{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12.5

Combina los términos.

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Paso 12.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12.5.1.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12.5.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12.5.3

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12.5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 12.5.5

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}})$

Paso 12.5.5.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 12.5.6

Multiplica $\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.7

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 12.5.8

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.8.1

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}) {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.8.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.8.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.8.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.8.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.8.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.9

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 12.5.10

Multiplica ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.10.1

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 12.5.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 12.5.10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3 + 3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 12.5.10.4

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{6}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 12.5.10.5

Divide $6$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{3} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 12.5.11

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{2 \cdot {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.12

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 12.5.13

Simplifica el denominador.

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Paso 12.5.13.1

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.13.1.1

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 12.5.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Paso 12.5.13.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Paso 12.5.13.1.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.5.13.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{1}}$

Paso 12.5.13.2

Simplifica $2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.6

Reordena los términos.

$\frac{- {(x - 1)}^{3} + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7

Simplifica el numerador.

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Paso 12.7.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de $- {(x - 1)}^{3} + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)$ .

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Paso 12.7.1.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de $- {(x - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.1.2

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{2} (- (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- (x - 1) + 3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- x - - 1 + 3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- x + 1 + 3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.4

Suma $- x$ y $3 x$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1 + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.5

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x + 4)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.6

Factoriza $2$ de $2 x + 4$ .

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Paso 12.7.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x) + 4)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 2)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.7.6.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 2 (x + 2)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.8

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y ${(x - 1)}^{3}$ .

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Paso 12.8.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{2} \cdot 2 (x + 2)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Paso 12.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.8.2.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de $2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{{(x - 1)}^{2} (2 (x - 1) (x + 1))}$

Paso 12.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{{(x - 1)}^{2} (2 (x - 1) (x + 1))}$

Paso 12.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x + 2)}{2 (x - 1) (x + 1)}$

Paso 12.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 2)}{2 (x - 1) (x + 1)}$

Paso 12.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 1)}$