Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ como ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 10

Mueve ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Paso 12

Multiplica ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ por ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Mueve ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Paso 12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Paso 12.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Paso 12.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Paso 13

Simplifica $2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ .

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Paso 14

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 6 x - 2$ y $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15

Diferencia.

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Paso 15.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15.6

Simplifica la expresión.

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Paso 15.6.1

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15.6.2

Mueve $7$ a la izquierda de $6 x - 2$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Paso 15.7

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 15.8

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 15.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 15.10

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Paso 15.11

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

Paso 15.12

Simplifica la expresión.

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Paso 15.12.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

Paso 15.12.2

Mueve $6$ a la izquierda de $7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

Paso 16.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Paso 16.4

Combina los términos.

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Paso 16.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Paso 16.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Paso 16.4.3

Multiplica $6$ por $7$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Paso 16.4.4

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Paso 16.4.5

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

Paso 16.4.6

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

Paso 16.4.7

Suma $42 x$ y $42 x$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

Paso 16.4.8

Suma $- 14$ y $24$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

Paso 16.5

Reordena los factores de $\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

Paso 16.6

Factoriza $4$ de $12 x - 4$ .

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Paso 16.6.1

Factoriza $4$ de $12 x$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

Paso 16.6.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

Paso 16.6.3

Factoriza $4$ de $4 (3 x) + 4 (- 1)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Paso 16.7

Multiplica $84 x + 10$ por $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ .

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Paso 16.8

Cancela el factor común de $84 x + 10$ y $4$ .

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Paso 16.8.1

Factoriza $2$ de $84 x$ .

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Paso 16.8.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Paso 16.8.3

Factoriza $2$ de $2 (42 x) + 2 (5)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Paso 16.8.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.8.4.1

Factoriza $2$ de $4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Paso 16.8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Paso 16.8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$