Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$1 \frac{x^{2} - 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x^{2} - 1}{x}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $x^{2} - 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 10

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 11

Multiplica $\frac{x^{2} - 1}{x}$ por $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{x {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $x^{2} - 1$ de $x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{(x^{2} - 1) (x (x^{2} - 1))}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{(x^{2} - 1) (x (x^{2} - 1))}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 13.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

Paso 13.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

Paso 13.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

Paso 13.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

Paso 13.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} - x}$