Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 3

La derivada de $\log (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.8

Resta $4$ de $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

Paso 5.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

Paso 5.5.2

Resta $4$ de $3$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

Paso 5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 6.3

Combina los términos.

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Paso 6.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 6.3.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \sin (x)$