Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\ln ({(5 x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln ({(5 (x^{- 3}))}^{\frac{1}{2}}))]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Aplica la regla del producto a $5 (x^{- 3})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} {(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})}))]$

Paso 1.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}}))]$

Paso 1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Paso 2.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}]$

Paso 4.3

Como $5^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}])$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $5^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Paso 8.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Paso 10

Combina $x^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Paso 11

Multiplica $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Paso 12

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- \frac{5}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Mueve $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Paso 12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{- \frac{5}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{\frac{- 5 + 3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Paso 12.4

Suma $- 5$ y $3$ .

$- \frac{x^{\frac{- 2}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Paso 12.5

Divide $- 2$ por $2$ .

$- \frac{x^{- 1} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Paso 13

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{- 1}$ .

$- \frac{3 \cdot x^{- 1}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Paso 14

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

$- \frac{3 x^{- 1}}{2 \cdot \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$

Paso 15

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) x}$

Paso 16

Simplifica $2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}^{2}) x}$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

Paso 17.2

Aplica la regla del producto a $5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

Paso 17.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Paso 17.4

Combina los términos.

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Paso 17.4.1

Multiplica los exponentes en ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 17.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Paso 17.4.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Paso 17.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{\ln (5^{1} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Paso 17.4.2

Evalúa el exponente.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Paso 17.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Paso 17.4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 17.4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

Paso 17.4.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

Paso 17.4.4.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{3}}) x}$

Paso 17.4.5

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$

Paso 17.5

Reordena los factores en $- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$ .

$- \frac{3}{x \ln (\frac{5}{x^{3}})}$