Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$1 \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x} + 1$ y $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Multiplica $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ por $\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 10

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1

Factoriza $e^{x} - 1$ de $(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.1

Combina los términos opuestos en $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

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Paso 11.4.1.1

Resta $e^{x} e^{x}$ de $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.4.1.2

Resta $1 e^{x}$ de $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.4.2.1

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.4.2.3

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.4.3

Resta $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Paso 11.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$