Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 8.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 10

Multiplica $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ por $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $e^{x} + 1$ de $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.3.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.3.1.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.3.2

Combina los términos opuestos en $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Paso 12.3.2.1

Resta $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.3.2.2

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.4

Combina los términos.

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Paso 12.4.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.4.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.4.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

Paso 12.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

Paso 12.5

Simplifica el denominador.

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Paso 12.5.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

Paso 12.5.2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

Paso 12.5.3

Factoriza $u$ de $u^{2} + u$ .

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Paso 12.5.3.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

Paso 12.5.3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

Paso 12.5.3.3

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

Paso 12.5.3.4

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

Paso 12.5.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Paso 12.6

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 12.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Paso 12.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$