Cálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x - x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 1000 y^{2} + y + 1$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x - x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 1000 y^{2} + y + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$9 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 - 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 - 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Paso 5.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.3

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1

Como $1000 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1000 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + 0 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + 0 + 0 + 0$

Paso 7

Combina los términos.

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Paso 7.1

Resta $15$ de $9$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6 + 0 + 0 + 0$

Paso 7.2

Suma $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ y $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6 + 0 + 0$

Paso 7.3

Suma $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ y $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6 + 0$

Paso 7.4

Suma $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ y $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6$