Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ como $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 3

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Paso 3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Paso 3.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 9.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 10

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{1 + x^{3}}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

Paso 12

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + x^{3}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

Paso 13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$