Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ por $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Combina los términos opuestos en $x + 1 - x - - 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Combina $\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ y ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 4.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Paso 4.4.4.2

Divide ${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Simplifica el denominador.

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Paso 4.5.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5.4

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

Paso 4.5.5

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Paso 4.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Paso 4.5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Paso 4.5.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Paso 4.5.6.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Paso 4.5.6.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Paso 4.5.6.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

Paso 4.5.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

Paso 4.5.6.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 4.5.7

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

Paso 4.5.8

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

Paso 4.5.9

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

Paso 4.5.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Paso 4.5.11

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2$ .

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Paso 4.5.11.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Paso 4.5.11.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Paso 4.5.11.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Paso 4.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$