Cálculo Ejemplos

$f (x) = arcsec (\sqrt{x + 1})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arcsec (x)$ y $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $arcsec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 1 - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 0}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 13

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 14

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 16

Simplifica la expresión.

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Paso 16.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 16.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 17

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 17.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{1} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 18

Simplifica.

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 19

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 21

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + 0)$

Paso 22

Simplifica la expresión.

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Paso 22.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \cdot 1$

Paso 22.2

Multiplica $\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{(2 x + 2 \cdot 1) \sqrt{x}}$

Paso 23.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3

Combina los términos.

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Paso 23.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 23.3.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 23.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Paso 23.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}}$