Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 11.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 12.3

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Paso 13

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Paso 15

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + x^{2}}$

Paso 17

Combina fracciones.

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Paso 17.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Paso 17.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Paso 17.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 19

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 21

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 22

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 23

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + x^{2}}$

Paso 23.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 23.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 24

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 25

Para escribir ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 27

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 27.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 27.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 27.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 27.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 28

Simplifica ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 29

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 30

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Paso 31

Reescribe $\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$ como un producto.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

Paso 32

Multiplica $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Paso 33

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 33.1

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ .

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Paso 33.1.1

Eleva $1 + x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}$

Paso 33.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 33.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 33.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 33.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 34

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35

Simplifica.

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Paso 35.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2

Combina los términos.

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Paso 35.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 35.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 35.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{1}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2.2

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2.5

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}}$

Paso 35.4

Simplifica el denominador.

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Paso 35.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

Paso 35.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

Paso 35.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}$

Paso 35.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 35.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

Paso 35.4.4.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

Paso 35.4.4.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}}$

Paso 35.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}}$

Paso 35.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}}$

Paso 35.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Paso 35.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 35.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 35.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 35.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 35.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 35.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}}$

Paso 35.4.4.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.5

Combina ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6

Simplifica el numerador.

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Paso 35.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 + 1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.4

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{4}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 35.6.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 35.6.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{1}}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.6.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 35.7.1

Reduce la expresión $\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 35.7.1.1

Factoriza $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

Paso 35.7.1.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Paso 35.7.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Paso 35.7.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1 + x^{2}}{1}}$

Paso 35.7.2

Divide $1 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$