Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec^{2} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ .

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x \sec^{3} (3 x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sec^{3} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x)] + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $3 x$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.2

La derivada de $\sec (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $3 x$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Paso 3.9

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x)))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Paso 3.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Paso 3.11

Eleva $\sec (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 (\sec^{1} (3 x) \sec^{2} (3 x)) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Paso 3.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 {\sec (3 x)}^{1 + 2} \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Paso 3.13

Suma $1$ y $2$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Paso 3.14

Multiplica $\sec^{3} (3 x)$ por $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x))) + 3 \sec^{3} (3 x)$

Paso 4.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 27 x (\sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + 3 \sec^{3} (3 x)$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$27 x \sec^{3} (3 x) \tan (3 x) + 3 \sec^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)$