Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\sqrt[3]{x}) - \sqrt[3]{\cos (x)}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (\sqrt[3]{x}) - \sqrt[3]{\cos (x)}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.10

Combina $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{\cos (x)}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\cos (x)}$ como ${\cos (x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \sin (x)))$

Paso 3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{- 2}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} (- \sin (x)))$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{3}$ y ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \sin (x)))$

Paso 3.11

Combina $\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - - \frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} \sin (x)}{3}$

Paso 3.12

Mueve ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - - \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.14

Multiplica $\frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Separa las fracciones.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.2

Convierte de $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ a ${\sec (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x)}{3} {\sec (x)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.3

Combina $\frac{\sin (x)}{3}$ y ${\sec (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sec (x)}^{\frac{2}{3}} \sin (x)}{3}$