Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\sec (3 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (3 x)$ .

$\cos (\sec (3 x)) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Paso 3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\sec (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Paso 4.2

Multiplica $3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}$ .

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{1}{\cos (3 x)}$ y $3$ .

$\frac{3}{\cos (3 x)} \cos (\sec (3 x)) \tan (3 x)$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{3}{\cos (3 x)}$ y $\cos (\sec (3 x))$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Paso 4.3

Reescribe $\tan (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ por $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.4.2

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.4.3

Eleva $\cos (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}$

Paso 4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 4.5

Factoriza $\cos (3 x)$ de $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.6

Separa las fracciones.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$

Paso 4.7

Reescribe $\frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ como un producto.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Paso 4.8

Escribe $\cos (\sec (3 x))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\frac{\cos (\sec (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)})$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Divide $\cos (\sec (3 x))$ por $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Paso 4.9.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Paso 4.10

Separa las fracciones.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Paso 4.11

Convierte de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x) (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Paso 4.12

Divide $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x) \cos (\sec (3 x)) \sec (3 x)$